Commentaires :

• formule qui est donc valable pour toute équation de la forme : ax + b = cx + d

• il suffit donc d'entourer d'une même couleur (ici, rouge) "les nombres accrochés aux x" et de ne pas oublier que leur soustraction est EN BAS de la fraction donnée par la formule.

• la formule peut aussi s'écrire : x= [ (D) - (G) ] / [ (G) - (D) ] 

Vocabulaire (pour ceux qui veulent) :

• ce que j'appelle "les nombres accrochés aux x", s'appellent "les coefficients de x".

• ce que j'appelle "le BAS de la fraction", s'appelle "le dénominateur de la fraction".

Posté le 19 septembre 2024 :

"l'addition sans la présentation classique de la "retenue", que n'aiment pas certains élèves " (à partir de la classe de CE2. Difficutés que l'on retrouve parfois encore en sixième).

Objectif de l'astuce :

revenir à la compréhension naturelle "16 + 7 = 23", plutôt que le classique "16 + 7 est égal à 3 et je retiens1" lorsque l'addition est posée.

Commentaires :

A. on commence par créer un quadrillage sous l'opération à effectuer :

- avec autant de lignes qu'il y a de chiffres au plus grand nombre des deux (ici, 4 lignes puisque 2817 possède 4 chiffres).

- pour le nombre de colonnes : "nombre de chiffres du plus grand des deux" + 1 colonne supplémentaire (ici, 5 colonnes puisque 2817 possède 4 chiffres).

B. en commençant par la colonne de droite : on additionne tous les chiffres d'une même colonne. Exemple, ici : 7 + 6 =13 que l'on écrit ainsi (horizontalement donc sans "retenue", sinon implicite pour les enseignants ...).

C. le dernier chiffre de cette mini-addition est noté en rouge, dans une case en rouge et sera le dernier chiffre du résultat final.

D. on passe alors à la mini-addition des chiffres de la colonne d'à côté. 1+2+1=4. Etc.

E. le résultat final est alors tout simplement la recopie de tous les chiffres rouges, lus de gauche à droite donc 3543

Remarque : la case rouge "isolée" de gauche n'est là que pour accueillir le cas où la mini-addition des chiffres de la colonne de gauche donnerait un nombre à 2 chiffres (comme ce sera le cas dans l'exemple donné pour la soustraction qui va suivre cette méthode pour l'addition).

Posté le 19 septembre 2024 :

"la soustraction sans la présentation classique de la "retenue", que n'aiment pas certains élèves (à partir de la classe de CE2. Difficutés que l'on retrouve parfois encore en sixième).

Objectif de la méthode :

Réécrire une soustraction avec deux additions et une soustraction facile (une puissance de 10).

N.B. pour conserver ici une présentation "simple", je me mets en situation de "consignes orales des étapes données par l'enseignant en restant à côté de l'élève", pour mener à bien la soustraction ci-dessous :

- "d'après toi, combien faut-il additionner à 1 pour obtenir 9 ?". Réponse : 8

- "d'après toi, combien faut-il additionner à 7 pour obtenir 9 ?". Réponse : 2

- "d'après toi, combien faut-il additionner à 8 pour obtenir 9 ?". Réponse : 1

- "d'après toi, combien faut-il additionner à 2 pour obtenir 9 ?". Réponse : 7

- "OK, alors maintenant, je te propose d'additionner 8217 au lieu de soustraire 1782. Comme tu sais bien faire les additions avec quadrillage, n'est-ce pas ?!"

- "Combien trouves-tu ? 10 680 ? C'est juste ! Eh bien, figure-toi qu'avec cette méthode, il ne te reste plus qu'à enlever 10 000, et d'additionner 1, pour avoir le même résultat que si tu avais posé la soustraction avec des retenues."

- "Monsieur/Madame, ce sera toujours comme ça ?!" (dit l'élève).

- "Pour le 1, oui. Il faudra toujours l'additionner à la fin". Pour ce qui sera aussi à enlever à la fin, ce sera toujours 10 ou 100 ou 1000 ou 10 000 ou 100 000,  c-a-d le nombre le plus grand que l'on peut enlever à ton résultat, entre 1 dizaine, 1 centaine, 1 millier, etc."

Posté le 23 septembre 2024 :

la "multiplication à l'italienne". Cette technique reprend l'idée que j'ai présentée pour la soustraction et l'addition : revenir à la plus simple des opérations possinles (pour l'instant l'addition) et contourner le blocage que ressentent certains élèves face à la présentation classique de la "retenue (ici à partir de la classe de CM2. Difficutés que l'on retrouve parfois encore en sixième).

N.B. pour finir le tour d'horizon des 4 opérations, demain nous verrons un exemple de "division à la russe", basée elle aussi sur une astuce.

Objectif de la méthode :

Réécrire une grosse multiplication en plusieurs petites, et en faire une synthèse grâce à des additions.

Exemple : effectuer la multiplication 2581 X 3705

1ère étape :

• Représenter la muliplication par un quadrillage (écrire lun des deux nombres  horizontalement et l'autre verticalement).

• Puis tracer (en les prolongeant) les diagonales de chaque case de ce quadrillage. Diagonales dans le même sens que dans cet exemple.

2eme étape :

• Dans la case commune à la colonne du 8 et la LIGNE du 3 (par exemple), noter le résultat de la petite multiplication 8 X 3 donc 24.

Avec le principe suivant : le 2 est à noter dans le côté gauche de la case et le 4 dans le côté droit (l'élève peut donc écrire "naturellement" 24, presque comme s'il l'écrivait à l'horizontal).

• Dans la case commune à la colonne du 1 et la ligne du 7 (par exemple), noter le résultat de la petite multiplication 1 X 7 donc 7. Puisque ce résultat ne possède qu'un seul chiffre, on décide de l'écrire 07 pour disposer le 0 et Le 7, comme le 2 et le 4 de l'exemple précédent.

3eme étape :

En utilisant le même principe, on complète toutes les cases du quadrillage.

Ce qui donne le dessin suivant :

4eme étape :

On trace alors un petit "couloir" autour de la moitié du quadrillage comme dessiné ci-dessous :

5eme étape :

Le grand moment est arrivé.

On addtionne tous les chiffres VERTS qui sont situés entre deux diagonales. Ce qui donne :

• pour le "couloir diagonal" le plus à droite : il n'y a qu'un 5 donc l'addition donne 5. Quand le résultat de l'addition est comme ici à un seul chiffre, on l'écrit en ROUGE dans le petit couloir que l'on avait tracé à l'étape précédente.

• pour le "couloir diagonal" d'à côté, là aussi, comme le total de l'addition donne 0 on l'écrit en ROUGE dans le petit couloir que l'on avait tracé à l'étape précédente.

• pour le "couloir diagonal" d'à côté, on trouve 16. Quand le résultat de l'additon est à 2 chiffres comme ici, on écrit le premier chiffre (le 1) en VERT, et le second chiffre (le 6) en ROUGE.

• pour le "couloir diagonal" d'à côté, on additionne tous les chiffres en VERT, Y COMPRIS LE 1 que j'ai encadré.

Puisque l'on obtient 12, on écrit le 1 en VERT et le 2 en ROUGE.

• On continue ainsi jusqu'au dernier couloir en diagonale.

CONCLUSION : pour avoir le résultat de la grosse multiplication de départ il suffit de lire et d'écrire tous les nombres écrits EN ROUGE, qui sont présents, en les lisant de gauche à droite. Ici le résultat de 2581 X 3705 est donc 9 562 605

Posté le 24 septembre 2024 :

la "division à la russe". Cette technique reprend le fil rouge des techniques exposées pour les 3 autres opérations. Eliiner la présence explicite de la retenue que certains élèves ne comprennent pas + ne se servir que d'opérations "élémentaires. Ici des additions et des multiplications par 2 !

1ere étape :

Partir de 27.

Multiplier par 2 ce nombre. Cela donne 54.

Multiplier par 2 ce nombre. Cela donne 108.

Multiplier par 2 ce nombre. Cela donne 216.

Multiplier par 2 ce nombre. Cela donne 432.

Multiplier par 2 ce nombre. Cela donne 864.

On s'arrête là, puisque la prochaine multiplication par donnerait 1728, ce qui dépasse 950 qui est le nombre à diviser.

Ce qui peut s'écrire aussi :

Partir de 1 X 27.

Aboutir ensuite à 2 X 27.

Aboutir ensuite à 4 X 27.

Aboutir ensuite à 8 X 27.

Aboutir ensuite à 16 X 27.

Aboutir ensuite à 32 X 27.

On s'arrête là.

2eme étape :

On enlève de 950, le plus de fois 27 que 'on peut.

En enlevant 864 (donc 32 fois 27), il reste 86.

De 86, on ne peut pas enlever 16 fois 27, ni 8 fois 27, ni 4 fois 27. On peut enlever 2 fois 27, et il reste 32.

De 32, on peut enlever 1 fois 27, et il reste 5.

On s'arrête là, puisqu'on ne peut plus enlever 27 de 5.

3eme étape :

En faisant la synthèse de la 2eme étape, on peut donc écrire que :

- l'on peut enlever de 950,  (32 + 2 + 1) fois 27 c-a-d 35 fois 27.

- et il restera 5.

Fin de l'astuce et résultat de la division cherchée.